大家好！本文和大家分享一道2005年福建省的高考数学真题。这是2005年福建高考理科数学试卷的第19题，也就是第3道解答题，题目的难度并不算大，但是综合考查了导数的计算、导数的几何意义以及导数与函数的单调性等知识。对于现在的高中生来说，如果这题都不会，那么想考本科问题就大了。

先看第一小问：求函数解析式。要解这道题，我们首先需要掌握导数的基本计算以及导数的几何意义。

本题中需要用到的基本函数导数的计算有：若f(x)=C，则f(x)=0；f(x)=x^n，则f(x)=nx^(n-1)；(v/u)=(vu-vu)/u^2，其中u、v为函数。

简单来说导数的几何意义就是指曲线在某点的切线的斜率。当然，不少同学在求曲线上某点的导数时会犯一个错误，那就是先求出该点对应的纵坐标，然后再求导。正确的做法是先根据函数解析式求出导函数，然后再代入该点的横坐标从而得到该点的导数值。

回到题目。要求函数的解析式，也就是需要求出a、b的值。根据题意，我们知道了函数图像在点(-1,f(x))处的切线，那么我们就知道了f(-1)的值，所以我们需要先求出函数的导数f(x)，再代入得到f(-1)，从而得到一个关于a、b的方程。另外，知道了f(x)在(-1,f(x))的切线方程，那么我们还可以计算出f(-1)的值，这样就又得到了一个关于a、b的方程。联立前面得到的两个方程就可以解出a、b的值，从而求出f(x)的解析式。

再看第二小问：求函数的单调区间。

这一问考查的是导数与函数的单调性。简单地说，通过导数判断函数单调性的法则为：当f(x)＞0时，f(x)为增函数；当f(x)＜0时，f(x)为减函数。需要特别注意的是，通过导数的正负来判断函数单调性的时候要谨慎对待导数值为零的情况。

回到题目，由第一小问的结论可以得到f(x)=(-2x^2+12x+6)/[x^2+3]^2。接下来就需要求出f(x)分别为正和为负时x的取值范围。

观察f(x)的表达式，显然分母一定是正数，所以f(x)正负就取决于分子的正负，实际上也就变成了一元二次不等式的问题了。后面的计算难度也并不大，只要细心一点不出现马虎性的错误，这道题得到满分其实并不难。

这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？