球体面积、体积公式推导-微积分应用实例

[业余笔记][教孩子学数学系列]-球体面积、体积公式推导-微积分应用实例

目录

1 球体面积公式推导

2 球体体积公式推导

3 圆锥体积公式推导

4 弧长(圆周)公式推导

5 扇形(圆)面积公式推导

正文

1 球体面积公式推导

解：

图1 球体面积示意图

计算球体表面积就像转着圈削苹果皮。如图1(A),先求出阴影标出的一个圆台的侧边面积（一圈皮）。由于整个苹果外皮被削成无数圈,再把这么多圈皮的面积累加起来就得到整个苹果的外皮面积(球面积)。图1(B)是圆台的侧边展开的图形。

由图1(A)知

将小圆台侧面积记作△S,则有

事实上，球体的表面是弧线而圆台的侧边是直线，因此是有误差的。只有当圆台划分得无限细微(L1→L2)时，两者才相等。此时△θ→0,α→θ,

于是

注：因为球体是对称的，所以我们求出半个球体面积再乘以2.

2 球体体积公式推导

我们用两种方法推导球体积公式

方法一：

考虑把球切成无数薄片，每个薄片近似为圆柱体。把所有圆柱体积累加得到球体积。

解：

方法二：

把球体按照经纬线划分成无数小方块。计算球心和小方块构成的四棱锥的体积，累加起来就是球体体积。当划分块数n→∞时，棱锥的高h→R,球面小方块越接近平面。全部小方块面积之和就是球体面积。

图2球体体积示意图

解：

3 圆锥体积公式推导

解：

4 弧长(圆周)公式推导

解：

5 扇形(圆)面积公式推导

解：

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

本账号“星辰博士讲数学”专注大学理工科教育科研和数学思维训练。

如果本文对你有用，请关注作者。欢迎点赞评论转发收藏。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~