模拟电路中带宽是什么，有什么具体的意义？

大信号带宽和小信号带宽是描述放大器的主要指标。

下面的文字可以结合上图一起来讨论。

小信号部分

什么是小信号？

MOS管是一个非线性器件（系统）。因此输出信号可以进行泰勒展开至二次项以上。

Vout=V0+αVin+βVin2+…V_{out}=V_0+\alpha V_{in}+\beta V_{in}^2+…\\ 其中， V0V_0 是直流偏置， αVin\alpha V_{in} 是线性值。

小信号需要多小，由电路用途和指标参数决定。

电路用途：如果将MOS管用于电路放大，那么一次项越大越好。当信号较小时（一般来说是输入信号的交流部分），多次项可以略去，只剩下直流项和一次项，这实际上就是小信号模型。

指标参数：指标参数的严苛性也有很大影响。当我们对多次项干扰比较宽容时，小信号可以在绝对值上变得大。当我们对多次项干扰极其严苛时，小信号在绝对值上变得小。

什么是频率响应？

频率响应是一个系统的本质特征。介绍频率响应的概念也为后面推导增益带宽积埋下伏笔。

上面介绍了MOS管可以用小信号模型将其简化为一个线性系统。

我们先从最简单的线性系统——一阶RC电路说起。

时域分析：

i(t)=CVout(t)dti(t)=C \frac{V_{out}(t)}{dt}\\RCdVout(t)dt+Vout(t)=Vin(t)RC \frac{dV_{out}(t)}{dt}+V_{out}(t)=V_{in}(t)\\

如果输入信号为阶跃信号 V0V_0 ，那么输出 Vout(t)V_{out}(t) 为：

Vout(t)=V0(1−e−tRC)V_{out}(t)=V_0 (1-e^{-\frac{t}{RC}})\\

频域分析：

我们使用拉普拉斯变换，那么时域的式子则变成：

X(s)=RCY(s)⋅s+Y(s)X(s)=RCY(s)\cdot s+Y(s)\\经过变换后：

H(s)=Y(s)X(s)=11+RC⋅s=11+sωpH(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{1+RC\cdot s}=\frac{1}{1+\frac{s}{\omega _p}}\\ 如令 s=jωs=j\omega ，那么拉普拉斯变换即变为傅立叶变换： H(jω)=11+jω/ωpH(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega /\omega_p}\\事实上， H(jω)H(j\omega) 即为系统的频率响应。里面包含了描述信号与系统的两个要素：幅值和相位。

什么是增益带宽积？

增益带宽积的研究对象一般为放大器。而增益和带宽之间的trade-off，是放大器最基本的矛盾之一。

我们研究频率响应的幅值部分：

A(ω)=H01+ω2ωp2A(\omega)=\frac{H_0}{\sqrt{1+\frac{\omega ^2 }{\omega _p^2}}}\\ 当 ω\omega 远大于 ωp\omega_p 时：

A(ω)⋅ω=HoωpA(\omega)\cdot\omega=H_o \omega_p \\ 故当频率很大时，增益与带宽之间的乘积为常数，定义为增益带宽积（GBWP: Gain Bandwidth Product)，也可写作GBW。

什么是小信号带宽？

当保持电路输入信号的幅度不变，改变频率使输出信号降至最大值的0.707倍，或某一特殊额定值时该频率称为截止频率。

小信号带宽一般指的是上截止频率与下截止频率之间的差值。

大信号部分

什么是压摆率（Slew Rate）？

我们通过分析一个简单运放电路来理解压摆率。

这是一个输出点与输入负极相连的运算放大器（单位缓冲器）。

由于电路是差分输入，当我们需要输入的信号很大时，M1管需要很大的电流，但电流源 IssI_{ss} 已经力不从心，只能将M2管关断。那么电流就顺着M3管、M4管流向电容。

ic(t)=Iss=CdVoutdti_c(t)=I_{ss}=C\frac{dV_{out}}{dt}\\这使M2管关断，电压随着时间的导数为恒定值，这个值就是压摆率（Slew Rate，SR，又称转换效率）。

dVout(t)dt=IssC\frac{dV_{out}(t)}{dt}=\frac{I_{ss}}{C}\\随着输出电压的增大，X点电压也会随之增大，使得M2管又重新开始工作。此时的信号增长变为指数恢复。

从本质来说，压摆率是由于大信号的存在，MOS管的非线性特性产生作用，导致了信号恢复并不是指数增长，而是部分线性恢复。

什么是功率带宽（大信号带宽）？

压摆率实际上表示了输出信号能够跟随输入信号变化的能力。压摆率越高，表示能够跟上的输入信号频率越高。

如果输入信号为正弦信号： Vin(t)=Vosin(ω0t)V_{in}(t)=V_o sin(\omega_0t)\\将正弦信号求导之后就得到了信号变化的速率。

dVin(t)dt=V0ω0cos(ω0t)\frac{dV_{in}(t)}{dt}=V_0 \omega_0 cos(\omega_0t)\\如果输出信号能够跟上输入信号的变化，则要求：

(\frac{dV_{in}(t)}{dt})_{max}=V_0 \omega_0 =2\pi V_0 f \\”>SR>(dVin(t)dt)max=V0ω0=2πV0fSR>(\frac{dV_{in}(t)}{dt})_{max}=V_0 \omega_0 =2\pi V_0 f \\那么频率 ff 的最大值为：

fmax=SR2πV0f_{max}=\frac{SR}{2\pi V_0}\\ 这个最大值即为功率带宽（大信号带宽）。

如果频率超过最大值，则会出现如下情况：

从图中可以看到，输出信号功率相比于输入信号功率出现了较大程度的衰减。这也是叫做功率带宽（Power Bandwidth）的原因。

小结

小信号带宽可以通过电路设计控制极点的位置，从而控制带宽大小；小信号对应到运放芯片的spec是增益带宽积。

大信号带宽与压摆率联系密切，可以通过控制电路中电流源、电容等参数实现压摆率的调控。并且大信号带宽与输入信号的幅值密切相关。大信号对应到运放芯片的spec是FPBW（Full-Power Bandwidth，即功率带宽）。