深入了解 L1 正则化：从概念到实践的问答解析

在机器学习模型训练过程中，我们经常会听到 “正则化” 这个术语，而 L1 正则化作为其中的重要一员，常常被用于解决模型过拟合等问题。但对于不少刚接触机器学习的人来说，L1 正则化的具体含义、工作原理以及实际应用场景可能还存在诸多疑问。接下来，我们就通过一问一答的形式，全面且细致地探讨 L1 正则化的相关知识，帮助大家更好地理解和运用它。

1. 什么是 L1 正则化呢？

L1 正则化，也被称为 L1 范数正则化或者 Lasso 正则化（Lasso 是 Least Absolute Shrinkage and Selection Operator 的缩写），是一种在机器学习模型训练中常用的正则化技术。从数学角度来看，它是在模型的损失函数中加入了一个正则项，这个正则项就是模型所有参数绝对值的和。简单来说，就是在计算模型预测值与真实值之间的误差时，额外考虑了模型参数的大小，通过这种方式对模型参数进行约束，从而达到改善模型性能的目的。

2. L1 正则化中的 “L1” 具体代表什么含义？

这里的 “L1” 指的是 Lp 范数中的 p=1 的情况。在数学领域，范数是一种用来衡量向量大小的函数，对于一个向量 x=(x₁,x₂,…,xₙ)，Lp 范数的计算公式为 ||x||ₚ=(|x₁|ᵖ + |x₂|ᵖ +… + |xₙ|ᵖ)^(1/p)。当 p=1 时，就得到了 L1 范数，它的计算方式就是向量中各个元素绝对值的总和，这也是 L1 正则化名称的由来。在模型训练里，这个向量对应的就是模型的参数向量，所以 L1 正则项其实就是对模型参数向量求 L1 范数。

3. L1 正则化主要作用是什么？

L1 正则化的主要作用有两个方面，一方面是防止模型过拟合，另一方面是进行特征选择。在防止过拟合上，当模型过于复杂，比如参数数量较多且部分参数取值较大时，很容易对训练数据进行过度学习，导致在新的测试数据上表现不佳。而 L1 正则化通过在损失函数中加入参数绝对值之和这一项，会对参数的取值进行约束，使得模型参数不会过大，从而降低模型的复杂度，减少过拟合现象的发生。在特征选择方面，L1 正则化能够使模型中的部分参数变为 0，当某个特征对应的参数为 0 时，就意味着该特征在模型的预测过程中几乎不发挥作用，相当于被模型自动筛选掉了，这样就实现了对输入特征的选择，有助于简化模型结构，同时也能帮助我们找到对预测结果更重要的特征。

4. L1 正则化为什么能让部分参数变为 0 呢？

这可以从数学优化和几何图形两个角度来理解。从数学优化角度看，在模型训练过程中，我们的目标是最小化包含 L1 正则项的损失函数。假设损失函数为 L (θ)，正则项为 λ||θ||₁（其中 θ 是模型参数向量，λ 是正则化强度参数），那么总的目标函数就是 L (θ) + λ||θ||₁。在对这个目标函数进行优化求解时，为了使整体值最小，当 λ 取值合适时，优化算法会倾向于将一些对模型贡献较小的参数调整为 0。从几何图形角度来说，L1 正则化的约束区域是一个菱形（在二维参数空间中）或者多面体（在高维参数空间中）。在寻找目标函数最小值的过程中，这个菱形或多面体的顶点更容易与目标函数的等高线相切，而这些顶点对应的参数向量中往往存在多个元素为 0 的情况，这就使得 L1 正则化能够实现参数的稀疏化，让部分参数变为 0。

5. L1 正则化中的正则化强度参数 λ 有什么作用？如何选择合适的 λ 值？

正则化强度参数 λ 在 L1 正则化中起着至关重要的作用，它决定了正则化作用的强弱。当 λ=0 时，正则项就不存在了，此时模型训练就相当于没有使用 L1 正则化，模型可能会因为过于复杂而出现过拟合；当 λ 逐渐增大时，正则化的作用会越来越强，对模型参数的约束也越来越严格，会有更多的参数被压缩到 0 附近甚至变为 0，模型的复杂度会降低，但如果 λ 过大，可能会导致模型过度简化，无法充分学习到训练数据中的有效信息，从而出现欠拟合现象。

选择合适的 λ 值通常需要通过交叉验证的方法来实现。常见的做法是将数据集分成训练集、验证集和测试集，或者采用 k 折交叉验证。首先，我们会预设一系列不同的 λ 值，然后针对每个 λ 值，使用训练集训练模型，并在验证集上评估模型的性能指标（如准确率、均方误差等）。最后，选择在验证集上表现最好的那个 λ 值作为最终的正则化强度参数。需要注意的是，测试集只是用来评估最终选定模型的泛化能力，不能参与到 λ 值的选择过程中，否则会导致对模型泛化能力的估计出现偏差。

6. L1 正则化和 L2 正则化有哪些主要区别呢？

L1 正则化和 L2 正则化虽然都是常用的正则化技术，但它们在多个方面存在明显区别。首先是数学表达式不同，L1 正则化的正则项是模型参数绝对值的和，即 λ||θ||₁；而 L2 正则化（也叫岭回归正则化）的正则项是模型参数平方的和再乘以 1/2（主要是为了求导方便），即 (λ/2)||θ||₂²。其次是对参数的影响不同，L1 正则化能够使部分参数变为 0，实现参数稀疏化和特征选择；而 L2 正则化通常会使参数的值整体变小，但很少会让参数变为 0，更多的是让参数在较小的范围内取值。再者，从几何约束区域来看，L1 正则化的约束区域是菱形或多面体，L2 正则化的约束区域是圆形或球体。另外，在计算复杂度上，当模型参数数量较多时，L1 正则化的优化求解过程相对复杂一些，因为其目标函数在参数为 0 的位置不可导，需要使用特殊的优化算法（如坐标下降法、最小角回归法等）；而 L2 正则化的目标函数是可导的，优化求解相对容易，常用的梯度下降法就可以有效处理。

7. 哪些机器学习模型适合使用 L1 正则化呢？

实际上，很多机器学习模型在训练过程中都可以引入 L1 正则化来改善性能，比较常见的有线性回归模型、逻辑回归模型以及支持向量机模型等。对于线性回归模型，加入 L1 正则化后就形成了 Lasso 回归模型，它可以用于处理线性回归问题中的过拟合，同时进行特征选择，特别适合当输入特征数量较多，且存在部分冗余特征的场景。在逻辑回归模型中，L1 正则化同样能够发挥防止过拟合和特征选择的作用，帮助模型在处理分类问题时，更好地聚焦于关键特征，提高模型的泛化能力。对于支持向量机模型，L1 正则化可以用于控制模型的复杂度，影响支持向量的选择，从而调整模型的分类边界，提升模型在分类任务中的表现。不过，需要注意的是，对于一些本身结构比较复杂或者非线性的模型（如深度神经网络），虽然也可以尝试使用 L1 正则化，但在实际应用中，可能会结合其他正则化方法（如 Dropout、权重衰减等）一起使用，以达到更好的正则化效果，而且在深度神经网络中直接使用 L1 正则化实现参数稀疏化的效果可能不如在简单线性模型中那么明显。

8. 在使用 L1 正则化时，数据是否需要进行预处理？如果需要，常见的预处理方法有哪些？

在使用 L1 正则化时，通常建议对数据进行预处理，这是因为 L1 正则化对参数的约束是基于参数的绝对值大小，而如果输入特征的量纲不同，那么不同特征对应的参数的绝对值大小可能不具有可比性，这会影响 L1 正则化的效果。比如，一个特征的取值范围是 0-1000，另一个特征的取值范围是 0-1，那么在模型训练过程中，对应取值范围大的特征的参数可能会更容易被 L1 正则化压缩，而取值范围小的特征的参数则可能受到的约束较小，这样就无法公平地对各个特征的重要性进行评估和选择。

常见的数据预处理方法主要有标准化和归一化。标准化（也叫 Z-score 标准化）的方法是将每个特征的数据转换为均值为 0、标准差为 1 的数据，计算公式为 x’=(x – μ)/σ，其中 μ 是该特征的均值，σ 是该特征的标准差。通过标准化处理后，所有特征都处于相同的量纲范围内，能够让 L1 正则化更公平地对各个特征对应的参数进行约束。归一化（也叫 Min-Max 归一化）则是将特征数据映射到 [0,1] 或 [-1,1] 的区间内，计算公式为 x’=(x – x_min)/(x_max – x_min)（映射到 [0,1] 区间），其中 x_min 是该特征的最小值，x_max 是该特征的最大值。归一化同样可以消除特征量纲的影响，使不同特征的参数在 L1 正则化的作用下得到更合理的调整。此外，对于数据中存在的缺失值，也需要进行适当的处理，比如通过均值填充、中位数填充、众数填充或者使用其他模型预测缺失值等方法，因为缺失值的存在可能会影响模型的训练过程和 L1 正则化的效果。

9. 采用 L1 正则化的模型在训练过程中，优化算法需要做特殊调整吗？

是的，采用 L1 正则化的模型在训练过程中，其优化算法通常需要做特殊调整。这主要是因为 L1 正则项的存在使得目标函数在参数为 0 的位置不可导（从数学上来说，绝对值函数在 0 点的导数不存在），而传统的基于梯度的优化算法（如普通的梯度下降法）在处理不可导点时会遇到困难，无法直接通过计算梯度来更新参数。

为了解决这个问题，研究人员提出了一些适用于包含 L1 正则项目标函数的优化算法。其中，坐标下降法是比较常用的一种算法，它的基本思想是每次只对一个参数进行优化，保持其他参数不变，然后依次循环对所有参数进行优化，直到目标函数收敛。由于每次只优化一个参数，此时目标函数可以看作是关于该参数的一元函数，而对于一元绝对值函数，很容易找到其最小值点，从而避免了不可导的问题。另外，最小角回归法也是一种常用于 L1 正则化模型（尤其是 Lasso 回归）的优化算法，它结合了逐步回归和分段线性的思想，能够高效地求解 Lasso 回归模型的参数，并且在处理高维数据时具有较好的性能。除了这些专门的算法外，也可以采用一些近似的方法来处理不可导问题，比如在参数接近 0 的区域使用一个小的 epsilon 值来近似导数，不过这种方法的效果可能不如专门的优化算法稳定。

10. L1 正则化在处理高维数据时表现如何？有什么优势和局限性？

L1 正则化在处理高维数据时表现相对较好，并且具有一些独特的优势，但同时也存在一定的局限性。

从优势方面来看，首先，正如前面提到的，L1 正则化能够实现参数稀疏化，将部分无关或冗余特征对应的参数变为 0，这在高维数据场景下尤为重要。高维数据通常意味着输入特征数量非常多，其中可能包含大量对模型预测结果贡献不大的特征，这些特征不仅会增加模型的复杂度，还可能引入噪声，导致过拟合。而 L1 正则化通过自动筛选特征，能够剔除这些无用特征，降低数据的维度，简化模型结构，提高模型的训练效率和泛化能力。其次，在高维数据中，由于特征数量远大于样本数量，传统的线性模型训练可能会出现解不唯一的情况，而 L1 正则化的加入能够对参数空间进行约束，帮助确定唯一的最优解，使模型训练更加稳定。

再看局限性，一方面，当高维数据中存在多个高度相关的特征（即多重共线性问题）时，L1 正则化的表现可能不太理想。它通常会随机选择其中一个特征，并将其对应的参数保留下来，而将其他相关特征的参数压缩为 0，这样虽然实现了特征选择，但可能会丢失其他相关特征中包含的有用信息，而且选择的特征也不一定是最优的。相比之下，L2 正则化在处理多重共线性问题时，会将相关特征的参数都调整为较小的值，而不是直接将部分参数变为 0，能够更好地利用多个相关特征的信息。另一方面，在高维数据场景下，L1 正则化模型的优化求解过程相对复杂，需要使用专门的优化算法（如坐标下降法、最小角回归法等），而且当特征数量非常庞大时，训练时间可能会比较长，计算成本相对较高。此外，L1 正则化对正则化强度参数 λ 的选择非常敏感，在高维数据中，合适的 λ 值范围可能更难确定，需要通过大量的交叉验证来寻找，这也增加了模型训练的工作量。

11. 有没有实际案例可以说明 L1 正则化的应用效果呢？

当然有，比如在医疗数据分析领域，研究人员常常需要根据患者的多种生理指标（如年龄、身高、体重、血压、血糖、血脂等）来构建模型，预测患者是否存在某种疾病风险。在这个场景中，输入特征数量较多，属于高维数据，而且其中可能存在一些与疾病风险关联不大的特征。如果不使用正则化技术，直接构建线性回归或逻辑回归模型，很容易出现过拟合现象，模型在新的患者数据上的预测准确率较低。

此时，引入 L1 正则化构建 Lasso 回归或 L1 正则化逻辑回归模型，就能够发挥很好的作用。通过 L1 正则化的特征选择功能，模型会自动筛选出对疾病风险预测最重要的生理指标，比如可能最终保留血压、血糖、血脂这几个关键特征，而将年龄、身高、体重等对预测结果影响较小的特征对应的参数变为 0。这样一来，模型结构得到了简化，不仅训练速度更快，而且在测试数据上的泛化能力也得到了显著提升，能够更准确地预测新患者的疾病风险。同时，通过特征选择得到的关键生理指标，也能为医生提供更有价值的诊断参考，帮助医生更聚焦于重点指标进行病情判断。

再比如在金融领域的信用评分模型中，银行等金融机构需要根据客户的多种信息（如收入水平、负债情况、信用历史、消费习惯等）来评估客户的信用风险，决定是否给予贷款以及贷款额度。同样，客户信息特征数量较多，且部分特征可能存在冗余或对信用风险影响较小。使用 L1 正则化构建信用评分模型，可以筛选出对信用风险评估至关重要的特征，如信用历史、负债情况等，剔除无关特征，使模型更加简洁、高效，同时提高信用风险评估的准确性，帮助金融机构更好地控制贷款风险。

12. 在模型评估时，使用了 L1 正则化的模型和未使用的模型相比，评估指标会有什么变化？

在模型评估时，使用了 L1 正则化的模型和未使用的模型相比，评估指标的变化会受到多种因素的影响，如数据的特点、模型的类型、正则化强度参数 λ 的取值等，不能一概而论，但总体上会呈现出一些常见的趋势。

从训练集的评估指标来看，通常情况下，未使用 L1 正则化的模型在训练集上的表现会更好一些，比如分类模型的准确率更高、回归模型的均方误差更小。这是因为未使用正则化的模型可以更自由地调整参数，充分拟合训练数据，甚至可能对训练数据中的噪声进行过度拟合。而使用了 L1 正则化的模型，由于受到正则项的约束，参数的调整受到限制，无法像未使用正则化的模型那样完全拟合训练数据，所以在训练集上的评估指标可能会略差一些。

从测试集的评估指标来看，情况则有所不同。如果未使用 L1 正则化的模型存在过拟合现象，那么它在测试集上的评估指标会比较差，比如分类准确率下降、回归均方误差增大。而使用了合适 λ 值的 L1 正则化模型，由于有效抑制了过拟合，能够更好地学习到训练数据中的普遍规律，所以在测试集上的评估指标通常会优于未使用正则化的模型，表现为分类准确率提高、回归均方误差减小。但如果 λ 值选择不当，比如 λ 过大，导致模型出现欠拟合现象，那么使用 L1 正则化的模型在测试集上的评估指标也会变差，甚至可能不如未使用正则化的模型。

另外，在特征选择方面，使用 L1 正则化的模型由于实现了参数稀疏化，会减少模型所依赖的特征数量，这在模型的可解释性评估指标上会更有优势。未使用正则化的模型由于参数较多且都不为 0，很难判断哪些特征对模型预测更为重要，模型的可解释性较差；而使用 L1 正则化的模型，通过观察哪些特征对应的参数不为 0，就可以清晰地了解到关键特征，模型的可解释性大大提高。

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