sin方x的导数是多少？-sin导数公式表

sin方x可以表示(sinx)^2，也可以表示(sinx)^n，n>1为正整数，甚至可以表示(sinx)^a, a是不等于0和正负1的实数。而(sinx)^2的导数是sin2x. 这是为什么呢？老黄下面要用两种方法来求解。

第一种方法比较简单，利用复合函数的求导法则：复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。或者表示为链式法则(f(g(x)))=df/dg 乘以dg/dx.

(sinx)^2的外函数是二次函数f(g)=g^2, 内函数是正弦函数g(x)=sinx. 而df/dg=2g, dg/dx=cosx，所以(sinx)^2的导数是2gcosx=2sinxcosx=sin2x.

第二种方法比较原始，也比较复杂，但更能触碰到导数的实质，就是运用导数的定义公式来求导。导数的定义公式有好几种形式，这里选择用f(x)=lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h的形式。从而有：

((sinx)^2)=lim(h->0)((sin(x+h))^2-(sin(x))^2)/h

=lim(h->0)((sin(x+h)+sinx)(sin(x+h)-sinx))/h

=lim(h->0)4sin[(2x+h)/2]cos(h/2)sin(h/2)cos[(2x+h)/2]/h

=lim(h->0)sin(2x+h)sinh/h=sin2x.

第二种方法虽然复杂，但是作为平时的练习，是一定要多练一练的。否则我们对导数，就只知其然，而不知道其所以然了。况且考试时，也经常要用到这个定义公式。

那么如果是(sinx)^3的导数又该如何求呢？下面只用第一种方法，演示一遍。

这时外函数是三次函数f(g)=g^3, 内函数仍是正弦函数g(x)=sinx，而(g^3)=3g^2, 因此(sinx)^3的导数是3g^2cosx=3(sinx)^2cosx=3sinxsin2x/2.

有兴趣可以用导数的定义公式求一求。以此类推，我们可以得到(sinx)^n的导数是：ng^(n-1)cosx=n(sinx)^(n-2)sin2x/2，甚至可以拓展到(sinx)^a的导数是：a(sinx)^(a-2)sin2x/2, a为不等于0和正负1的实数.