sinx=2的解法

记得我很早之前就打算做一些科普视频，奈于技术不行，遂放弃。之前看过3Blue1Brown的视频，作者用他自己开发的数学可视化引擎manim制作动画，感觉效果很棒。发现知乎和B站陆陆续续有很多大佬开始使用manim做动画，于是进了一个manim交流群。开始摸索manim，实际上这个引擎的安装和环境的的搭建还挺麻烦，用manim也需要会Python和 LATEX\LaTeX ，恰好我都会，于是很快上手了。

我以为有这个引擎做数学动画很简单，但是出乎我意料，还是要不停地肝，动画的构架想好了，实现起来还是非常麻烦，这个过程及其无聊和痛苦。最后赶了一下进度，视频还是做出来了，但是有些瑕疵让我这个强迫症很不爽。

有了前面剪AMV的的经验，我很快就把视频剪好，加上动态水印，渲染，发布到B站。

视频链接：https://www.bilibili.com/video/av91565323/

进入正题

我们高中学过 sin⁡x\sin x 的值域是 [−1,1][−1,1] ，画作图像的话，波浪线在 [−1,1][−1,1] 之间往复，但是怎么会与 22 有交点呢？

答案是：当然没有。 sin⁡x=2\sin x=2 没有实数解，但是如果看作复变函数， x∈Cx∈\mathbb{C} 时，将 sin⁡x\sin x 泰勒展开，它有无穷高次幂，按照代数基本定理， sin⁡x=2\sin x=2 是有无穷多解的！事实确实如此，下面是极其详细的求解过程，高中生都可以看懂，我就不文字叙述了。

sin⁡x=2eix=cos⁡x+isin⁡xe−ix=cos⁡x−isin⁡xeix−e−ix=2isin⁡xsin⁡x=eix−e−ix2ieix−e−ix2i=2eix−e−ix=4it=eixt−1t=4it2−4it−1=0t=(2±3)ieix=(2±3)iLn(eix)=Ln[(2±3)i]ix=ln⁡(2±3)+Lniiθ=Lnieiθ=cos⁡θ+isin⁡θcos⁡θ+isin⁡θ=eLni=i{cos⁡θ=0sin⁡θ=1θ=(4k+12)π,k∈ZLni=iθ=iπ(4k+12)ix=ln⁡(2±3)+iπ(4k+12)x=(4k+12)π−iln⁡(2±3),k∈Z\sin x=2\\\ e^{ix}=\cos x+i\sin x\\\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x\\\ e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x\\\ \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\\ \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=2\\\ e^{ix}-e^{-ix}=4i\\\ t=e^{ix}\\\ t-\frac{1}{t}=4i\\\ t^2-4it-1=0\\\ t=(2\pm\sqrt3)i\\\ e^{ix}=(2\pm\sqrt3)i\\\ {\rm Ln}(e^{ix})={\rm Ln}[(2\pm\sqrt3)i]\\\ ix=\ln(2\pm\sqrt3)+{\rm Ln}\ i\\\ i\theta={\rm Ln}\ i\\\ e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\\\ \cos \theta+i\sin \theta=e^{\rm{Ln \ i}}=i\\\ \begin{cases}\cos \theta=0\\\sin \theta=1\end{cases}\\\ \theta=(\frac{4k+1}{2})\pi,k\in \mathbb{Z}\\\ {\rm Ln}\ i=i\theta=i\pi(\frac{4k+1}{2})\\\ ix=\ln(2\pm\sqrt3)+i\pi(\frac{4k+1}{2})\\\ x=(\frac{4k+1}{2})\pi-i\ln(2\pm\sqrt3),k\in \mathbb{Z}\\\

最后

笔者将全力迎接高考，屏蔽一切外界讯息。

所有高考生们，一起加油啊！