微积分基本定理的证明？-微积分学基本定理证明

用分点

a=x0<x1<⋯<xi−1<xi<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots <x _{i -1}<x_i<\cdots <x _n =b

将被积区间 [a,b][a,b]等分成 nn个小区间，每个小区间长度为 dx=b−an{\rm d }x=\frac{b-a}{n}。相应的原函数 F(x)F (x )的总改变量 F(b)−F(a)F (b )-F (a )可分为 nn个部分改变量的和。即：

F(b)−F(a)=F(xn)−F(x0)=[F(xn)−F(xn−1)]+[F(xn−1)−F(xn−2)]+⋯+[F(xi)−F(xi−1)]+⋯+[F(x1)−F(xn0)]=∑i=1n[F(xi)−F(xi−1)]\begin{equation} \begin{split} F(b)-F (a)&=F(x _n )-F (x _0)\\&=[F (x _n) -F (x _{n -1})]+[F (x _{n-1}) -F (x _{n -2})]+\cdots+ [F (x _i) -F (x _{i-1})]+\cdots +[F (x _1) -F (x _{n0})]\\&=\sum_{i =1}^{n}[F (x _i) -F (x _{i -1})] \end{split} \end{equation}

根据微分中值定理，在每个小区间 ，(xi−1，xi)(x_{i-1}，x_i)内，一定存在一点 ξiξ_i，使得

F(xi)−F(xi−1)=F′(ξi)dx=f(ξi)dxF (x _i) -F (x _{i -1})=F(ξ_i){\rm d} x =f (ξ_i){\rm d}x 。

从而

F(b)−F(a)=∑i=1n(ξi)dxF(b )-F (a)=\sum _{i =1}^{n}(ξ_i){\rm d}x 。

当 n→∞n\rightarrow\infty 时，根据定积分的定义，我们有

∫abf(x)dx=F(b)−F(a) {\color{red }{\boxed {\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x =F(b)-F(a)} }}

。

上面的公式被认为是微积分中最重要的公式。它的存在，避免了利用定义求定积分时可能会遇到的复杂性与技巧性，使得定积分的计算过程大大简化，同时也把定积分（被定义为积分和的极限）与不定积分（被定义为原函数）两个看起来毫不相干的概念联系起来。这个公式就是大名鼎鼎的「微积分基本定理」。

值得注意的是，微积分基本定理也不是万能的。利用微积分基本定理求定积分，需要求出被积函数的不定积分。但是，求原函数并不都是很容易的，有时甚至原函数根本无法用初等函数表示。况且从工程、技术、科研、经济、金融等实际应用中遇到的大量被积函数，常常是用表格或曲线给出的，这时写不出被积函数的表达式，当然也就无法用式子写出它的原函数。这时，我们通常借助数值计算法求出定积分的近似值。在计算机广泛应用的今天，数值计算在复杂的大数据面前显得更加重要。